В текущем разделе мы вступаем на территорию математической логики. Я посчитал полезным сопоставить свои рассуждения о знаниях, сделанные в предыдущих разделах текущей главы, с достижениями логики в исследовании теорий. В частности, речь пойдет о теоремах Геделя. Для тех, кто не хочет углубляться в эту специфическую тему, в начале соответствующих глав и разделов (до главы 2.5 "Логика и жизнь" включительно) будут делаться замечания, что данную главу или раздел можно пропустить, если нет интереса к проблемам формальной логики. Для дальнейшего понимания книги такие пропуски препятствий не создадут. И в текущем разделе я делаю первое такое замечание:
Текущий раздел можно пропустить, если проблемы формальной логики и теоремы Гёделя не представляют для вас интереса. Подобные замечания делаются, начиная с раздела VI "Понятие "доказательство" - в быту и математике" главы 2.1 "Что значит "знать"?" в начале соответствующих разделов и глав. Если вы пропускаете текущий раздел, то следующий без данного замечания раздел - VII "Проблема доказательства своих границ" текущей главы.
Ошибка находится за пределами логики. Ведь законы логики сформулированы для отображения реальности, а не для ее отрицания. Встретив противоречие в теории, человек останавливается, обращается к каким-то внешним по отношению к теории методам с целью поиска источника ошибки и создания новой - избавленной от ошибки - теории. Так поступает нормальный человек и это совершенно правильное с практической точки зрения поведение. Но это правильное поведение не только не отмечается логиками, но вместо него рассматривается нечто совершенно немыслимое. А именно:
Математик, исследующий логику, заявит, что в противоречивой теории доказано всё!
Посмотрим, как из противоречия можно в рамках логического формализма доказать, что автор является балериной. Допустим, мы доказали какое-то противоречие. Пусть - следующую противоречивую пару:
1. Могут коровы летать без помощи искусственных летательных аппаратов и приспособлений.
2. Не могут коровы летать без помощи искусственных летательных аппаратов и приспособлений.
Доказано каждое из этих 2х утверждений. Но достаточно, чтобы было истинно только одно из них для того, чтобы было истинным следующее утверждение:
"Верно хоть одно из следующих утверждений:
1. Могут коровы летать без помощи искусственных летательных аппаратов и приспособлений.
2. Не могут коровы летать без помощи искусственных летательных аппаратов и приспособлений.
3. Автор является балериной"
Тот, кто немного знаком с формальной логикой, догадается, что приведенное утверждение представляет собой дизъюнкцию трех пронумерованных утверждений. Дизъюнкция - это соединение утверждений не исключающим "или". В качестве не исключающего "или" я обычно пишу "и/или". Понятно, что дизъюнкция истинна, если истинно хоть одно из входящих в неё утверждений.
В проекции на реальность принцип дизъюнкции означает то, что факт события в мире сохраняется независимо от всего остального. Если светит Солнце, то наличие рядом снежного человека не отменяет факта сияния Солнца. Не отменят факта сияния Солнца и отсутствие снежного человека в природе. Можно смотреть только на Солнце и убедиться, что оно светит, но можно смотреть шире и быть готовым обнаружить любой из фактов - хоть сияние Солнца, хоть появление снежного человека. Хоть один факт из этих 2х ты точно обнаружишь, раз Солнце светит. Факт сияния Солнца останется фактом (истиной), независимо от того, явился или не явился снежный человек. Поэтому, если "светит Солнце", то верно и то, что: "Светит Солнце и/или явился снежный человек".
С практической точки зрения дизъюнкция означает, что успехом при поиске среди многих возможностей, будет реализация даже одной из них. Например, нас устроит апельсин и/или лимон. Тогда нас устроит истинность любого из утверждений: и "Апельсин есть", и "Лимон есть".
С другой стороны, если утверждение отрицает реальность, то можно выбросить это утверждение из истинной дизъюнкции и "остаток" дизъюнкции сохранит истинность. Например, если истинно утверждение: "Нет у меня головы и/или я живу на Земле", то из него можно выкинуть часть "Нет у меня головы" в случае, если истинно утверждение "Есть у меня голова". После выкидывания получим: "Я живу на Земле". Те, кто знаком с формальной логикой, могут догадаться (хоть это и не совсем очевидно), что возможность выкидывать ложные части дизъюнкции - это другая формулировка правила вывода MP (modus ponens).
Для того, чтобы применить правило MP "стандартным образом" надо: записать приведенную дизъюнкцию в виде импликации: "Если есть голова у меня, то я живу на Земле". И в силу истинности посылки "Есть голова у меня" ее можно отбросить и получить "Я живу на Земле". Импликация соответствует дизъюнкции, которая состоит из 2х утверждений: отрицания посылки импликации и заключения импликации. Впрочем, не буду углубляться в эти формальности, потому что они находятся в стороне от основной темы.
Понятно, что если есть несколько альтернатив и одна из них ложная, то ее можно исключить. Если какая-то из альтернатив и реализуется в реальности, то, конечно, не та, которая ложная. Эту очевидную закономерность и выражает правило вывода MP.
Если ты идешь в магазин за кефиром, то знаешь, что в принципе можешь находиться не только в магазине, но и заниматься подводной охотой, или тушить пожар, или быть на войне. Однако ты выбрасываешь из этих вариантов (магазин и/или подводная охота и/или пожар и/или война) то, что не верно в данной ситуации. Поэтому в магазин можно идти без водолазного снаряжения, без костюма пожарника, без базуки и огнемета. Происходит отбрасывание потенциальных возможностей, если распознано их отсутствие. А как иначе пользоваться знанием? Нельзя же каждый раз применять все свои знания, совершая несовместимые поступки. Способность к распознанию, к отбрасыванию лишнего - это "сужающая" сторона мышления.
Теперь применим правило MP к разбираемой нами дизъюнкции (с летающими/нелетающими коровами и автором - балериной). Отбрасывать мы должны то, отрицание чего доказано. Но у нас доказано и первое и второе утверждение дизъюнкции, которые отрицают друг друга. Поэтому 1ое мы отбрасываем потому, что доказано 2ое, а 2ое отбрасываем потому, что доказано 1ое. И получаем в качестве остатка третье:
"Автор является балериной"
Таким манером из противоречия можно вывести все что угодно методами формальной логики. Разумеется, у "нормального" человека (в отличие от логика-математика) подобный вывод вызовет возражения. Если не просто тупо следовать формализму, а вдуматься в смысл, то понятно, что отбрасывать уместно ложные части дизъюнкции, но если доказано противоречие, то не понятно, истинными или ложными являются эти части? Как надо переделать теорию, чтобы разобраться с их истинностью или ложностью? Кроме того, "нормальный" человек вовсе не будет выводить из противоречия всё. Увидев противоречие, он как раз приостановит использование этой теории и начнет разбираться - в чем же проблема.
В налоговом кодексе, например, часто выявляются противоречия. И по закону налогоплательщик вправе толковать эти противоречия в свою пользу. Но это не значит, что ему позволено воспользоваться методами формальной логики, доказать выгодное для себя право (из противоречия можно доказать что угодно!) и потребовать его реализации от государства.
Так что, претензии "нормального" человека к методу логика-математика вполне обоснованы. Логика всегда выполняется для реального мира, но теория с противоречием не описывает никакой "кусок" реальности. И с какой тогда стати распространять законы логики на то, чего в нашем мире нет? Для такого распространения нет никаких оснований.
Однако возражения эти носят характер спора о словах, а не о сути. "Нормальные" люди и логики-математики используют понятие "доказательство" в разных смыслах. Слово "доказательство" только по звучанию и написанию одинаково у "нормальных" людей и логиков-математиков, но служит оно для обозначения разных результатов. А именно: если переводить на бытовой язык фразу: "есть логическое доказательство", то получится: "есть доказательство или есть противоречие".
Казалось бы, смысл, который придают логики понятию "доказательство", весьма неудобен. Зачем нам доказательство, если оно противоречиво? Проблема, однако, состоит в том, как избежать противоречий. Самая простая попытка - просто запретить противоречивые доказательства. Вопрос только в том, как его выполнить, как отличить в общем случае противоречивое доказательство от непротиворечивого доказательства? Какая теория или метод даст подходящий критерий? К тому же запрет на противоречивые доказательства еще не создает правильных теорий.
Противоречие - это не просто какая-то незначительная ошибка. Еще в разделе V "Что означает противоречие" этой главы отмечалось, что:
"Поскольку законы логики никогда не нарушаются, то из истинных утверждений выводятся истинные утверждения. Раз в конце стоит ложное утверждение, значит, какая-то ошибка/ошибки имеется в основе теории - в совокупности ее аксиом"
И еще там же:
"Причем противоречие является "универсальной" ошибкой, которая не соответствует реальности, не соответствует никакому "куску" реальности. А это значит, что в реальности нет ничего, что обладало бы свойствами, задаваемыми аксиомами противоречивой теории"
Поэтому противоречие означает непригодность теории в целом. И невозможно "оправдать" теорию тем, что в ней можно доказать и какие-то "правильные" теории. Для каких-то других аксиом другой теории данная теорема, полученная внутри противоречивой теории, может оказаться верной применительно к какой-то существующей части мира, но это уже другой вопрос и другие доказательства. Можно воспользоваться теоремой, доказанной в одних условиях (в одной теории) для других условий, но гарантий ее истинности не будет, и такое использование теоремы практически не отличается от случайных поступков, совершаемых под влиянием выпадения "орла" или "решки".
И доказательство теоремы внутри противоречивой теории может не содержать в себе противоречий, но и гарантий у такого доказательства тоже нет, ведь в рамках противоречивой теории может быть доказано и отрицание данной теоремы, причем доказательство отрицания тоже может не содержать в себе явных противоречий. Противоречие может оказаться внешним по отношению к доказательству данной теоремы, что не делает доказательство правильным.
Поэтому с запретом на существование противоречивых доказательств возникает большая проблема. Можно сказать: "мост через пропасть сгнил и обвалился", но подобное заявление не исправит мост и не даст никаких средств для перехода через пропасть. Ценность подобных заявлений весьма ограничена, потому что делаются они зачастую постфактум, когда шедшие впереди уже улетели вниз. И сами по себе подобные заявления еще не позволяют предвидеть, какие мосты сгнили и могут обвалиться в пропасть.