Текущую главу можно пропустить, если проблемы формальной логики и теоремы Гёделя не представляют для вас интереса. Подобные замечания делаются, начиная с раздела VI "Понятие "доказательство" - в быту и математике" главы 2.1 "Что значит "знать"?" в начале соответствующих разделов и глав. Если вы пропускаете текущую главу, то следующая без данного замечания глава - 2.3 "Свобода воли и законы природы".
Заметим, что смысл, который придают понятию "доказательство" логики-математики и "нормальные" люди, будет одинаковым, если это понятие применяется в рамках непротиворечивой теории. В непротиворечивой теории нет противоречий, нет противоречивых доказательств и поэтому альтернатива "есть доказательство или есть противоречие" в такой теории всегда означает "есть доказательство, и нет противоречий". Поэтому, если удается доказать непротиворечивость теории B при помощи непротиворечивой теории A, то мы добиваемся желаемого нами качества доказательств - без угрозы противоречий. Мы не исключаем из рассмотрения случай, когда теория B и теория A - одна и та же теория.
В принципе, нас бы устроил такой вариант, при котором теория A окажется достаточно очевидной, окажется намного проще теории B. Если, например, теория A сводится к какому-то частному ограниченному случаю реального мира и если ее можно просто "доказать" на уровне "смотри!", то ничего другого нам и не надо. В конечном счете, в непротиворечивость внешнего мира и своего восприятия мы верим. Иначе доказательства вообще невозможны, иначе мы не можем верить себе даже в тои случае, когда видим противоречие. Ведь если мы не верим своему восприятию, то, как мы можем поверить в то, что мы действительно видим противоречие?
К сожалению, даже весьма ограниченная теория машин Тьюринга не вписывается в ограниченный набор возможных реальных ситуаций (а неограниченный набор реальных ситуаций мы не в силах проверить на практике). Поэтому доказать непротиворечивость некоторых важных в практическом отношении теорий посредством предъявления ограниченного набора фактов реального мира не удается. Забегая вперед, отмечу одну из причин, которая не позволяет свести проверку к очевидным фактам: Мы живем в искусственном мире и всегда можно соорудить такой алгоритм, например, который опровергает метод проверки. Чтобы свести проверку к нескольким фактам, надо заранее знать эти факты, но сама возможность - знать заранее - оказывается для важных случаев невыполнимой. На каждое "да" найдется свое "нет" и наоборот. Возможность разрушения предсказания присутствует всегда и доказать наличие такой возможности можно (как мы увидим), но в силу этого гарантии от разрушения (доказательство непротиворечивости) оказываются недостижимыми.
Если же мы доказали теорию B при помощи неочевидной теории A, то наше достижение окажется сомнительным. Ведь остается нерешенным вопрос о непротиворечивости данной "посторонней" теории A. Если данная посторонняя теория противоречива, то ее выводам о непротиворечивости какой-либо другой теории нельзя верить. Но, может, непротиворечивость этой посторонней теории можно доказать при помощи второй теории, непротиворечивость которой, в свою очередь, доказала первая?
Можно представить, например, такую цепочку: теория A докажет непротиворечивость теории B, теория B докажет непротиворечивость теории C, а теория C, в свою очередь, докажет непротиворечивость теории A и круг замкнется. Но ведь нам еще надо доказать непротиворечивость такого замыкания, и непротиворечивость этого доказательства тоже должна быть чем-то подтверждена. В любом случае нам приходится рассматривать полученные цепочки как единую систему, подчиненную единой теории. И в любом случае внутри этой единой теории стоит вопрос о непротиворечивости самой этой теории. Поэтому вопрос, в конечном счете, сводится к возможности доказать непротиворечивость теории в рамках самой теории.
Непротиворечивость - это недоказуемость противоречия. Нам хотелось бы, чтобы непротиворечивость теории была доказана в рамках самой теории. Полнее выражаясь, нас интересует доказательство недоказуемости противоречий. Поэтому нам надо разобраться, во-первых, какой смысл мы вкладываем в понятие "доказательство", во-вторых, что мы пониманием под недоказуемостью. Что означает противоречие, мы уже разобрали раньше, и двусмысленности в этом понятии не обнаружили. Разберемся с 2мя оставшимися понятиями, не столь однозначными:
1. Доказательство
Напомню, что понятию "доказательство" придают 2 разных смысла - "бытовой" и логический. Первый смысл ("бытовой"): "есть доказательство, и нет противоречия". Второй смысл (логический): "есть доказательство или есть противоречие". "Бытовой" смысл является более строгим. Если доказательство удовлетворяет "бытовым" требованиям, то тем более оно является доказательством и в логическом смысле. Поэтому, если в теории можно что-то доказать в "бытовом" понимании, тогда то же самое можно доказать и в логическом понимании. С невозможностью доказательства ситуация, естественно, будет обратной: когда что-то нельзя доказать в логическом смысле, тогда то же самое нельзя доказать и в бытовом смысле. (Если невозможно провести доказательство даже в "слабом" логическом смысле, то тем паче невозможно найти "сильное" доказательство в "бытовом" смысле).
Что мы ожидаем от наших попыток доказать непротиворечивость теории в рамках самой теории? Мы ожидаем, что такие попытки закончатся неудачей. Такая гипотеза была обоснована в предыдущем разделе (последнем в предыдущей главе). Мы предполагаем, что достаточно выразительная теория в состоянии "понять", что она опирается на то, что в ней есть и не может опираться на то, чего в ней нет, а поэтому и не может доказать свои пределы.
Раз мы ожидаем, что доказать непротиворечивость нельзя (для достаточно выразительной теории), то имеет смысл ориентироваться на доказательство в логическом смысле. Ведь если мы поймем, что невозможно найти даже слабое доказательство непротиворечивости (в логическом смысле), то невозможно и более сильное доказательство непротиворечивости, удовлетворяющее жестким "бытовым" требованиям.
Если же мы, паче чаяния, все же обнаружим доказательство непротиворечивости - в логическом смысле понятия "доказательство" - то вопрос о доказательстве в бытовом смысле останется открытым. И тогда наш подход не оправдает себя. Поэтому наш подход оправдается только в случае невозможности доказать непротиворечивость, и это следует учитывать. И с учетом этого обстоятельства мы придадим понятию "доказательство" логический смысл во фразе "доказательство недоказуемости".
2. Недоказуемость.
Недоказуемость противоположна доказуемости. У понятия "доказуемость" есть 2 смыла: "бытовой" и логический. Ведь 2 смысла есть у понятия "доказательство". Два смысла понятия "недоказуемость" следующие:
i) Смысл, противоположный бытовому смыслу понятия "доказуемость";
ii) Смысл, противоположный логическому смыслу понятия "доказуемость".
Какой смысл интересует нас?
Нам надо, чтобы недоказуемость утверждения Икс означала не только отсутствие доказательства утверждения Икс, но одновременно еще и отсутствие противоречий в теории, потому что если результат (недоказуемость) получен в противоречивой теории, то она не соответствует ничему в мире, и ее методы не заслуживают доверия. К тому же доказательство непротиворечивости теории в противоречивой теории - явный абсурд. Итак, нужный нам смысл понятия "недоказуемость" такой: "нет доказательства и нет противоречия". Но этот смысл как раз противоположен тому смыслу понятия "доказуемость", который придает ему логика: "есть доказательство или есть противоречие".
Если рассматривать вопрос о недоказуемости в логическом смысле, то мы считаем, что из противоречия следует всё и невозможность доказательства означает невозможность противоречия. Если же рассматривать вопрос о недоказуемости в "бытовом" смысле, то из противоречия не следует всё, противоречие означает скорее прекращение доказательства и недоказуемость в бытовом смысле. Но кроме вопроса недоказуемости в бытовом смысле нам нужно быть уверенным в непротиворечивости. Поэтому к условию недоказуемости в бытовом смысле мы добавляем еще требование об отсутствии противоречий. Но после такой добавки наше требование становится в точности требованием недоказуемости в логическом смысле.
В итоге нам все равно приходится решать вопрос о недоказуемости в логическом смысле. Поэтому, при решении вопроса о недоказуемости, мы вправе рассматривать понятие "недоказуемость" как отрицание понятия "доказуемость" в логическом смысле. Мы вправе считать, что "недоказуемость" отрицает, что есть противоречие (а из противоречия "следует всё" в логике). И если при таком подходе доказать недоказуемость окажется невозможно, то это будет означать, что нельзя доказать недоказуемость в бытовом смысле и/или нельзя доказать непротиворечивость теории.
Таким образом, понятие "недоказуемость" оказывается вполне однозначным. Конфликта между бытовым и логическим смыслами не возникает.
Нам удалось согласовать между собой "бытовой" и логический подходы к понятию "недоказуемость". Логика не предъявляет к доказательству требование непротиворечивости, но к недоказуемости логика такое требование предъявляет. И если нас интересует вопрос о непротиворечивости (= недоказуемость противоречия), то логическое понимание понятия "недоказуемость" оказывается совершенно уместным.
Совершенно уместным оказывается и логический смысл понятия "доказательство", но уже не в любом случае, а когда выполнены 2 условия:
I) Мы рассматриваем вопрос о доказательстве недоказуемости;
II) Результат этого рассмотрения - невозможность такого доказательства.
К такому выводу мы пришли, разбирая первый вопрос (о доказательстве).
"Невозможность такого доказательства" здесь означает фактическую невозможность, невозможность по существу, а не в смысле наличия доказательства о невозможности. Ведь только если нет (реально нет!) и не может быть логического доказательства (определенного корректного текста) в разбираемой теории, то только тогда нет (тоже реально нет!) и доказательства в бытовом смысле.
Но раз мы ориентируемся на фактическое отсутствие доказательства непротиворечивости, то нам нужны какие-то очень убедительные факты, мы должны свести вопрос к ограниченному набору фактов. Ведь от опоры на факты мы вынуждены были отказаться и начать рассматривать вопрос о непротиворечивости именно потому, что не всякое доказательство можно проверить ограниченным набором фактов. Об этом было сказано в начале данного раздела. Как же мы собираемся опереться на факты при доказательстве невозможности доказать непротиворечивость в рамках непротиворечивой теории?
Идея состоит в том, чтобы вывести противоречие внутри теории из предположения, что непротиворечивость теории доказана в рамках самой теории. И таким образом один-единственный факт разрушит непротиворечивость всей теории, которая, якобы, доказала свою непротиворечивость. Вот такой план.
Поскольку недоказуемость в логическом смысле всегда означает то, что нам нужно, то условия совпадения логического и нужного нам смысла для фразы "доказательство недоказуемости" будут теми же самыми, что для понятия "доказательство". Поэтому, если в рамках логического подхода проблему доказательства недоказуемости решить невозможно, то невозможно ее решить и в рамках "бытового" подхода, потому что тогда выполнены вышеуказанные пункты I) и II).
Поскольку доказательство непротиворечивости - это доказательство недоказуемости противоречий, и поскольку понятие "противоречие" одинаково понимается логиками и "нормальными" людьми, то про доказательство непротиворечивости можно сказать то же, что про доказательство недоказуемости. А именно: если в рамках логического подхода проблему непротиворечивости решить невозможно, то невозможно ее решить и в рамках "бытового" подхода.
Если мы увидим, что доказать непротиворечивость нельзя, то в качестве следствия мы получим вот какой вывод: Само бытовое понимание понятия "доказуемость" является несостоятельным, потому что это бытовое понимание предъявляет невыполнимое требование гарантий непротиворечивости.
Заметим, что наши рассуждения касались не методов доказательства, а только смысла, придаваемого понятиям "доказательство" и "недоказуемость". И если окажутся выполненными вышеуказанные пункты I) и II), то это будет означать, что в процессе данного доказательства мы вправе считать доказательством произвольного утверждения внутри теории даже противоречие. Разумеется, это не означает, что наше доказательство про теорию может быть противоречивым. Ведь наше доказательство проходит в значительной степени вне теории и к тому же исходное требование II такое: "Результат этого рассмотрения - невозможность такого доказательства". Невозможность, а не возможность доказать через противоречие.
Когда мы решаем - в рамках непротиворечивой теории - вопрос о недоказуемости какого-либо утверждения, то мы вправе считать доказательством (доказательством всего) даже противоречие. Потому что противоречие в рамках логического подхода исключает недоказуемость (в логике из противоречия следует всё), но противоречие так же означает, что нет недоказуемости в искомом нами смысле - с обязательной непротиворечивостью теории.
Поэтому чисто технически при решении вопроса о недоказуемости можно считать, что из противоречия следует всё внутри теории. И выводы о недоказуемости, которые мы сделаем при таком подходе, будут правильными. Они будут правильными как в логическом, так и в бытовом смысле. Методы доказательства про теорию могут при этом быть и не из учебников логики, важно лишь, чтобы они были корректными.
Наши рассуждения в следующих трёх разделах этой главы будут опираться на методы логического доказательства. Разумеется, методы логического доказательства не являются единственно возможными методами доказательства. Но остальные корректные методы доказательства можно свести к логическим методам. Как и что сводится (при помощи тезиса Черча) - еще будет сказано в разделе II "Доказательства логические и иные" главы 2.4 ""Окрестности" теоремы Геделя". И выводы, которые будут ниже сделаны о формально-логических системах, будет перенести и на другие системы, "способные" к доказательствам.
Замечу, что в рамках логического подхода из противоречия следует все, но это же означает, что если хоть одно утверждение не может быть доказано в теории, то теория непротиворечива. Но в данном случае этот факт оказывается эквивалентен требованию отсутствия всех противоречий и не упрощает задачу доказательства непротиворечивости. Мы еще увидим принципиальную невозможность предвидеть некоторые важные факты внутри теории, о чем уже упоминалось в начале этого раздела. Поэтому отмечу, забегая вперед, что убедиться в непротиворечивости теории за счет понимания нескольких значимых фактов не получится.
В то же время наш план опровержения доказательства непротиворечивости (через получение противоречия в теории в случае доказательства непротиворечивости) дает шанс свести общий вопрос к частному факту.
Итак, мы будем проводить доказательство в логическом смысле, то есть, считать, что в рамках разбираемой теории из противоречия следует всё. Но напомню, что это принятое нами условие оправдано при решении вопроса о непротиворечивости только в том случае, если доказательство непротиворечивости окажется невозможным. Но не следует автоматически соглашаться с этим условием в остальных случаях.