Текущую главу можно пропустить, если проблемы формальной логики и теоремы Гёделя не представляют для вас интереса. Подобные замечания делаются, начиная с раздела VI "Понятие "доказательство" - в быту и математике" главы 2.1 "Что значит "знать"?" в начале соответствующих разделов и глав. Если вы пропускаете текущую главу, то следующая без данного замечания глава - 2.5 "Логика и жизнь".
1. Начнем с ответа на первый вопрос, поставленный в конце главы 2.2 "Теорема Геделя - доказательство" (раздел IV "Теорема Геделя - "техническая" часть"):
"Почему выявлять свою непротиворечивость система должна сложными методами? Ведь простые теории и простые системы избегают многих сложностей, которые и создают угрозу противоречий".
Возьмем, например, какую-нибудь простую теорию и добавим в нее аксиому: "Эта теория непротиворечива". И обозначение "это" можно интерпретировать, как текст данной теории. И слово "непротиворечива", можно интерпретировать как непротиворечивость в нашем обычном понимании. Но важно не раскрывать это слово внутри теории - и никаких противоречий тогда в ней не возникнет. Чем плох такой подход?
Он плох тем, что слово "непротиворечива" можно тогда понимать и как фразу: "написана черным по белому". И тоже никаких противоречий не возникнет. И никаких противоречий внутри теории не возникнет и в том случае, если слово "непротиворечива" интерпретировать как фразу "написана в небе пылающими буквами", хотя никаких пылающих букв в небе нет.
Тут мы имеем дело с подменой понятия его свойством (одним или некоторыми), мы имеем дело с использованием слова не по назначению. Назовем такую подмену "профанацией". Это как называть траву "танк" на основании того, что танк зеленый и трава тоже зеленая.
То, что в теории есть слово "непротиворечивость", еще не означает, что есть сама непротиворечивость - в том смысле, как мы её обычно понимаем. Ведь можно и такую теорию построить (вполне корректную!), где будет истинно равенство 4=5, потому что символы "4" и "5" будут обозначать в такой теории одно и то же. Но такая теория вовсе не доказывает, что имеется равенство между 4 и 5 в нашем обычном понимании "4" и "5".
В разбираемом случае ("Эта теория непротиворечива") понятие "непротиворечива" подменяется его свойством. Это свойство состоит в том, что понятие "непротиворечива" относится к "этой теории", Но у "этой теории" есть множество других характеристик, которые к ней относятся. Таким образом, мы описываем лишь некоторые стороны непротиворечивости, столь общие, что они могут быть и у написания "в небе пылающими буквами", и у бумаги ("написана черным по белому") и еще Бог знает у чего.
Мы действительно можем использовать теорию с профанированным понятием "непротиворечива" и в рамках этой теории доказать ее "непротиворечивость". Но на самом деле мы докажем не саму непротиворечивость, но лишь какие-то ее свойства. Но в этом нет ничего удивительного, нет никакого противоречия с теоремой Геделя. Ведь какие-то свойства непротиворечивости у данной теории мы действительно можем доказать внутри теории.
Возьмем для примера ту же 2ю теорему Геделя. Она доказана для арифметики Пеано (будем обозначать арифметику Пеано, следуя Гильберту и Бернайсу, "теория Z") и всех более широких теорий. В силу теоремы Геделя, арифметика Пеано заведомо не может доказать свою непротиворечивость. Однако непротиворечивость арифметики Пеано можно доказать при помощи более широкой теории, используя трансфинитную индукцию, порядковые числа, не рекурсивные функции (не важно даже, что обозначают эти термины, но важно, что в арифметике Пеано ничего такого нет). И в ходе доказательства непротиворечивости арифметики Пеано используются в том числе теоремы арифметики Пеано, которые доказаны внутри арифметики Пеано. По сути, эти теоремы являются некоторыми свойствами непротиворечивости арифметики Пеано и эти свойства внутри арифметики Пеано доказать можно. Но непротиворечивость в целом для арифметики Пеано, включая некоторые важнейшие свойства непротиворечивости, доказать внутри арифметики Пеано нельзя.
Еще пример. Доказательство теоремы Геделя применительно к теории Z требует, чтобы теория Z содержала аксиому индукции. Если же из теории Z убрать аксиому индукции, то теорему Геделя доказать уже не удастся. Если теорию Z еще кое-как исказить, то в такой искаженной теории может пройти доказательство собственной "непротиворечивости". Однако такое доказательство получится, в том числе потому, что нет аксиомы индукции.
Но наш мир устроен так, что в нем верен принцип индукции. Поэтому доказательство "непротиворечивости" в искаженной "теории Z" будет соответствовать такому миру, в котором принцип индукции не обязателен. В таком мире после бесконечности шагов могут найтись еще какие-то шаги, идущие вразрез со всей закономерностью. Однако нас интересуют теоремы для нашего мира, и нас интересует такая непротиворечивость, для которой принцип индукции верен. Но стоит нам включить этот принцип и ряд других, свойственных нашему миру и свойственных понятию непротиворечивости, внутрь теории, как доказать непротиворечивость теории в рамках самой теории окажется невозможно.
Почему нас не могут устроить результаты искаженной "теории Z"? Потому что у нас есть практические соображения. Пусть искаженные результаты кажутся нам симпатичными, но наши симпатии не изменяют законы мира. Может, мне симпатично, чтобы лошадка на карусели двигалась по прямой (считаем, что прямая линия нравиться мне больше окружности) и поэтому я стою рядом с каруселью, ожидая ухода лошадки вдаль. Однако лошадка все же завернет по кругу и врежется в меня, хоть такое ее "поведение" я считаю крайне грубым и противоречащим моим любимым "теориям".
В теории вообще может не быть значка отрицания. Тогда она будет заведомо непротиворечива. Но как без такого значка (или его аналога) отличить случай "есть" от случая "нет"? Нам же теория нужна не столько для того, чтобы наслаждаться ее непротиворечивостью, сколько для того, чтобы использовать её практически, чтобы узнавать, например, произойдет интересующее нас событие, или не произойдет. А для того, чтобы теория была способна отличить "да" от "нет", от нее требуется не только способность отрицать, но и непротиворечивость. Ведь противоречивая теория на один и тот же вопрос может ответить и "да", и "нет".
Разумеется, практически никакие особенности куска реальности нельзя отразить целиком в теории. Но обычно мы можем расширять теорию новыми аксиомами, и эти аксиомы уже могут отражать все добавленные нами свойства "куска" реальности. Но с непротиворечивостью возникает особенная ситуация. Начиная с некоторого уровня подробностей, непротиворечивость теории уже нельзя выразить внутри теории. У непротиворечивости теории есть такой предельный уровень сложности, начиная с которого она становится недоступной для самой теории. И наличие такого "запрещающего" уровня отличает непротиворечивость от многих других характеристик "кусков" реальности.