Любой вывод в теории (противоречивой или непротиворечивой) опирается на то, что в теории есть. Если даже добавить к теории какие-то аксиомы, то в новой, расширенной теории сохранятся все выводы из старой (исходной) теории. В частности, если теория доказала, что в ней нельзя доказать утверждение Икс, то это доказательство сохранится даже в том случае, если теорию расширить утверждением Икс в качестве аксиомы. В последнем случае получится явно ошибочная теория: в ней будет доказано (в 0 ходов) и утверждение Икс и утверждение о невозможности доказать утверждение Икс.
Казалось бы, очевидно, что теория не может доказать корректно свою непротиворечивость, потому что это доказательство с тем же успехом пройдет и в противоречивом расширении теории. То есть, такое доказательство ничего не доказывает: Есть оно или нет его - не означает, что теория непротиворечива. Однако тут есть нюанс:
У теории есть какая-то область интерпретации. В этой области она и верна, а в некоторой другой может быть и не верна. То есть, формулировка непротиворечивой теории выделяет такие области, которые "делают" теорию истинной. Нельзя сказать, что теория истинна абсолютно. Вот и с формулировкой ее непротиворечивости можно ограничиться всего лишь тем, чтобы непротиворечивость была истинной в отношении самой теории, как некой подходящей области (или части области) интерпретации. Добиваться, чтобы непротиворечивость была истинной для всех мыслимых областей, нет необходимости и, разумеется, нет возможности.
Конечно, столь формальная истинность теоремы о непротиворечивости будет практически бесполезной, потому что не позволяет, по сути, выяснить непротиворечивость теории методами самой теории. Но по форме (а не по сути) для непротиворечивой теории доказательство непротиворечивости могло бы быть истиной.
Когда мы применяем теорию к ней самой, то мы "внешним" образом ставим эту теорию в соответствие с некоторой частью мира. Ведь теорию можно применить и не к ней самой (практически все теории и созданы для "внешних" применений, а не для разглядывания собственного "пупка"). Это мы определяем, в какой книге кончилась эта теория и началась другая. И поэтому, в "рассуждениях" о своей непротиворечивости теория уже не "говорит": "я непротиворечива", но она как бы "говорит": "Если я вот такая: <рассказывает про себя>, то я непротиворечива".
Казалось бы, границу теории в данном случае проводит не теория, а мы - те, которые ее применяют, а теория рассматривает свои границы лишь как гипотезу. Теория рассматривает не себя, а некий необязательный образ себя. Может, в таком случае теория способна выразить свою непротиворечивость в рамках условия "если я такая"?
Проблема, однако, в том, что условие "если я такая" не дает нам ровным счетом никаких дополнительных возможностей по сравнению с любым способом рассуждения. Ведь любое размышление о любом объекте проходит в рамках условия "если объект такой". Когда мы рассуждаем о горах, например, то мы ведь не ворочаем реальные горы в своих маленьких (по сравнению с горами) головах. Мы все равно оперируем образами. И наши выводы будут верными лишь в том случае, если наши представления о горах соответствуют самим горам. Наши рассуждения, поэтому, все равно проходят в рамках условия "если горы такие".
Теория не может "осознать" свои границы вовсе не потому, что она "думает" о себе, а надо думать про образ себя. Теория вообще может "думать" о себе только через образ себя и никакой альтернативы в этом отношении нет. Теория не может "осознать" свои границы потому, что у нее нет, фактически, достаточного объема информации, нет "внешних мозгов". Она оперирует только тем, что есть у нее, внутри нее. И "думая" про свой образ (иначе думать про себя невозможно), она имеет объект той же сложности, что она сама.
У теории нет достаточно информации о себе, чтобы доказать свои границы - ведь понимание границ - это понимание уже и внешнего мира. Это требует наличия информации, которая о чем угодно позволяет сказать, является этот предмет рассмотрения частью теории или не является. Если теория полностью знает себя, то она полностью исчерпает свои информационные ресурсы на себя и возможности осознать, что что-то иное - не она - уже не останется. Если же она что-то знает про внешний мир, то на какое-то понимание себя не хватает ресурсов. Такой вот "тришкин кафтан".
Это значит, что у теории нет информации для доказательства границ любого своего достаточно правильного образа. "Достаточно правильного образа" - то есть - не искаженного, не примитивизированного и т.д.
В рамках теории ведь можно поставить вопросы, на которые она не сможет ответить. Спрашивать легче, чем отвечать - вот на этом (забегая вперед) и будет построено доказательство теоремы Геделя. Будет поставлен такой "вопрос", который в случае ответа теории дает прямо противоположный результат.
Я проведу одну аналогию между теорией и человеком, чтобы пояснить, о каких "образах себя" идет речь. К аналогиям следует относиться с осторожностью, они призваны показать на очевидных примерах, что в мире уже есть нечто подобное, помогают увидеть в новом что-то "старое" и привычное. Однако нужно понимать, что человек - это не теория. Кроме логических выводов у него есть, например, такое важное свойство, как восприятие реальности. И теория - не человек, иначе у нее были бы, например, руки, ноги, голова и т.д. Аналогия же моя касается внутреннего мира:
Когда человек представляет себя "со стороны", то, фактически, нет абсолютного выделения человека из мира. Если я представляю себе "со стороны", как я пошел в парк, например, но это никак - по выделенности из мира - не отличается от пришедшего в парк другого человека. Рассуждения же "про себя", про свой внутренний мир - это моделирование этого внутреннего мира, моделирование того, как этот человек смотрит "изнутри" на окружающий его мир.
Если я выделяю себя "со стороны", если я выделяю себя с "внешней" точки зрения, а не с точки зрения "изнутри", то какое это имеет отношение к внутреннему миру человека ("меня"), которого я себе представляю? Как этот человек в рамках своего внутреннего мира может выделить себя из окружающего его мира? Вот в чем вопрос. Я "со стороны" могу ведь выделить не только его, могу не считать его "собой", а считать "собой" кого-то другого. Не могу? Об этом подробнее мы поговорим в следующей части 3 "Человеческое "я" и мир".
Казалось бы, я могу просто "аксиоматизировать", что какой-то человек, которого я представляю "со стороны" - я. Но ведь мы обсуждаем - давайте вспомним - проблему непротиворечивости. А непротиворечивость ставит вопрос - а не могу ли я наряду с аксиомой, что данный человек является мной - доказать еще и теорему, что другой человек - тоже является мной? В том-то и дело, что когда я что-то аксиоматизирую, тогда я совершаю произвол. Но если можно совершить один произвол, то почему нельзя совершить и следующий? Может, следующий произвол будет уже даже не произволом, а будет прямым следствием первого произвола? Вот такая аналогия.
Конечно, можно рассмотреть теорию, состоящую из "набора" аксиом в количестве одного утверждения: "Эта теория непротиворечива". Чем не теория? Она и непротиворечива и доказательство собственной непротиворечивости имеет (в 0 ходов).
Но где кончается список аксиом - на этой странице или на следующей? Почему мы ограничились одной аксиомой, а не добавили еще одну: "Неверно, что эта теория непротиворечива"? Ведь эта аксиома находится рядом с предыдущей аксиомой. Вопрос: "Где кончаются аксиомы данной теории?" - является внешним по отношению к теории.
Аксиома опирается на то, что есть в ней и "не в курсе" того, что находится за ее пределами. Если мы включаем аксиому непротиворечивости, то она априори заявляет, что "в курсе" того, что находится за ее пределами. Но это ее "мнение" может войти в противоречие с другими аксиомами (назовем их "возражающие"), которые в состоянии выразить (доказать) тот факт, что за пределами любой аксиомы, может быть какая угодно другая аксиома. И эти "возражающие" аксиомы будут выражать истинное положение дел.
В связи со сказанным становится понятным, почему в логике понятие "доказательство" включает в себя и случай противоречия. Дело в том, что вопрос о противоречиях (их наличии или отсутствии) является, вообще говоря, внешним и не может быть решен внутри теории. Однако, это еще интуитивные рассуждения, от которых мы перейдем к более строгим выводам в следующей главе.