2. Теперь ответим на второй вопрос, поставленный в конце главы 2.2 "Теорема Геделя - доказательство" (раздел IV "Теорема Геделя - "техническая" часть"):
"Какое отношение выводы, сделанные о логических системах, применимы к нашим обычным рассуждениям? Может то, что невозможно для логической системы, легко достижимо нашими "обычными" рассуждениями?"
Но что такое "обычные рассуждения"? Ведь человек все равно каким-то образом опирается на представления о реальности, если он руководствуется знанием, а не чем-то иным (вроде инстинкта, традиции и пр.). Человек опирается на имеющиеся у него знания и каким-то образом "вычисляет" истинность ответов на свои вопросы. Причем "вычисляет" их не случайно, а аргументировано - если он руководствуется разумом, а не игральными костями. А это значит, что не всякий предложенный ему метод "вычисления" истинности ответов он примет как убедительный.
То есть, если человек руководствуется знанием, то у него есть метод проверки, при помощи которого он может проверить аргументированность предложенного ему (или найденного им самим) решения. В логике, например, таким методом является проверка доказательства: доказательство представляет собой список "доводов", и если каждый "довод" в доказательстве получен по правилам логики (из аксиом и/или предыдущих доводов), то результат доказательства (теорема в конце списка) - истинный (если аксиомы истинные).
Сам процесс поиска ответа во многом случаен, конечно. Поэтому я говорю о вычислении истинности ответа, а не о вычислении самого ответа. Даже для математика (и даже особенно для математика) необходима интуиция и желание идти в неизвестность, неизбежен путь проб и ошибок. Но ответ будет признан правильным лишь в том случае, если найдены такие аргументы в пользу этого ответа, которые пройдут процедуру проверки. И эта процедура проверки уже не должна зависеть от случайности, но должна давать однозначный результат.
Что же касается вычисления результата проверки, то на счет вычислений у нас есть тезис Черча, который утверждает, что любые вычисления могут быть сведены к рекурсивным функциям (что эквивалентно алгоритмам машины Тьюринга, операциям с абаком и т.п.). А это значит, что корректность любого рассуждения, подразумевающего проверку, подразумевающего вычисление истинности, можно свести к теории, в которой представимы рекурсивные функции. И такие теории есть.
Например, любое вычисление представимо в теории Q (я использую обозначение из "Вычислимости и логики" Булоса и Джеффри). Теория Q столь примитивна в некоторых отношениях, что в ней нельзя даже доказать ни коммутативность сложения и умножения, ни отличие числа от следующего за ним, ни ассоциативность сложения и умножения, ни равенство нулю произведения на 0, ни массу других обычных свойств.
Но любое вычисление в этой теории представить можно.
Замечу, кстати, что теории Z отличается от теории Q только наличием аксиомы индукции. Но аксиома индукции позволяет доказать те "обычные" свойства чисел, которые теория Q доказать не в силах.
Ну, а поскольку любые корректные рассуждения на тему непротиворечивости можно свести к теории, то и вопрос о непротиворечивости этих рассуждений тоже сводится к непротиворечивости теории. Если же мы рассматриваем достаточно богатую теорию (и достаточно глубокие рассуждения), то непротиворечивость доказать невозможно - как это следует из 2ой теоремы Гёделя. Если же теория бедная и рассуждения бедные, то некоторую "непротиворечивость" можно и доказать, но это будет профанация понятия "непротиворечивость".
Другое дело, что есть разница в смыслах, которые вкладывают в понятие "доказательство" логики-математики и "обычные" люди. Такое положение дел подробно разбиралось в разделе VI "Понятие "доказательство" - в быту и математике" главы 2.1 "Что значит "знать"?". По сути, речь идет о вычислении результатов проверок разных доказательств и невозможно, разумеется, ни при каких корректных методах добиться в общем случае равенства результатов при решении разных задач.
И тезис Черча тоже не объявляет "волшебных" свойств у рекурсивным функций. Он не утверждает, что с их помощью результат 2*2 станет таким же, как результат 3*3. Он не утверждает, и не может утверждать, что доказательство в логическом смысле является доказательством и в "бытовом" смысле. Тезис Чёрча говорит лишь о том, что заданное вычисление можно всегда провести при помощи рекурсивных функций и получить тот же результат, что и другими корректными методами.
Вот если проверка доказательства в бытовом смысле является вычислением, если у нас действительно есть способ ее провести, тогда такую проверку можно осуществить и в рамках рекурсивных функций. Раз мы рассматриваем нечто иное, чем проверку вывода следующего шага из предыдущего (начиная от аксиом), то такая процедура уже не будет называться "доказательством" в логическом смысле, но будет моделью для бытового способа доказательства. Надо лишь, чтобы бытовой способ доказательства существовал в "природе", а не только в фантазиях.
И у такой процедуры бытового доказательства будет какой-то результат, просто с результатом действительного доказательства он может совпасть лишь случайно. "Бытовой" смысл понятия "доказательство" оказался попросту противоречивым (ошибочным), как мы выяснили в конце раздела II "Теорема Геделя - эвристические рассуждения" позапрошлой главы 2.2 "Теорема Геделя - доказательство":
"Поэтому, если мы требуем от теории T доказательств в жестком "бытовом" смысле, то такое наше требование оказывается невыполнимым"
Приведенный вывод мы сделали в рамках логических рассуждений. Но перед этим в разделе I "Понятие "недоказуемость" - в быту и математике" главы 2.2 "Теорема Геделя - доказательство" было показано, что наши результаты из логики о противоречиях и недоказуемостях в их логическом смысле дают адекватную картину о противоречиях и недоказуемостях в их "бытовом" смысле.
При ближайшем рассмотрении оказалось, что провести доказательство в "бытовом" смысле (с гарантией непротиворечивости) так же невозможно, как построить квадратуру круга при помощи циркуля и линейки, так же невозможно, как доказать аксиому параллельных из других аксиом Евклида, так же невозможно, как изобрести вечный двигатель.
Еще одна невозможная вещь - убедить сторонников вечного двигателя, квадратуры круга и т.п. неосуществимых затей в том, что их затеи неосуществимы. Поэтому теорема Геделя вызывала и вызывает возражения с "бытовой" точки зрения, хотя никаких убедительных аргументов в защиту своих взглядов противники теоремы Геделя еще не приводили.
На бытовом уровне люди иногда ставят неразрешимые (и даже противоречивые) задачи, которые не имеют решений на уровне логики, и на этом основании утверждают, что логика недостаточно выразительна. Якобы, нелогические методы позволяют решить вопрос, а логические - не позволяют. При ближайшем рассмотрении до сих пор всегда оказывалось, что и на не логическом уровне подобные задачи не имеют решения, а псевдорешения были получены ценой ошибок, которые очень не хочется видеть из-за страстного желания, чтобы поставленный вопрос непременно решался. Но бывают вопросы, которые не решаются, потому, например, что поставлены не корректно. И виновата в такой ситуации вовсе не логика, но постановщик подобного вопроса. Но зачатую он хочет, чтобы считали наоборот - раз его мысли и действия не логичны, то надо оспаривать логику, а не его мысли и действия.
Был, у меня, к примеру, спор на одном умершем теперь сайте о статье академика Разборова в Компьютере №2 (379) за 2001 г. Академик пишет:
"Например, имеются универсальные алгоритмы, позволяющие проверять истинность любого утверждения о вещественных числах (которое можно записать в стандартном языке математической логики первого порядка - отметим, что путем введения декартовых координат к такому виду можно привести, например, любую задачу элементарной геометрии). Первый такой алгоритм был придуман американским логиком Альфредом Тарским (Alfred Tarski) еще в 1948 году."
Поясню, о чем идет речь.
"Наконец, укажем еще на принадлежащее Тарскому [1951] доказательство разрешимости теории первого порядка для вещественно замкнутых полей, которая представляет собой элементарный фрагмент теории вещественных чисел." (стр. 281, "Введение в математическую логику" Э. Мендельсон, Москва "Наука", Главная редакция физико-математической литературы 1984 г.)
Что можно сказать? Это такой фрагмент, который не позволяет даже формализовать понятие алгоритма. И это совсем не то же, что теория вещественных чисел. И совершенно не верно, что это найдены способы:
"позволяющие проверять истинность любого утверждения о вещественных числах"
Являются ли, например, теоремы "чистой" логики первого порядка утверждениями о вещественных числах?
Да. Например:
Если выполнено некоторое утверждение X, то выполнено утверждение X.
Но Тарский, на которого сослался академик, доказал свою теорему о разрешимости для некоторой теории 1го порядка, в котором есть свой специфический язык (смысл которому придают аксиомы этой теории) и которая совсем не включает все теоремы "чистой" логики. А академик говорит "любые утверждения" и "впускает" всю логику первого порядка. Которая неразрешима, для которой теорема Тарского неприменима. Даже теория Q богаче теории вещественно замкнутых полей в том отношении, что теория Q может представить любой алгоритм, а теории вещественно замкнутых полей - не может.
Видимо, академик просто не понимал, что такое теория 1го порядка и поэтому использовал слово "любое". Нигде в тексте академика нет фразы: "на языке вещественно замкнутых полей". Он говорил про разрешимость "любого утверждения о вещественных числах", то есть - и общезначимого. То есть - и теории Q про натуральные числа (которые тоже являются вещественными). Он даже говорит не о теории 1го порядка, а о логике 1го порядка, подчеркивая включение общезначимого!
Поэтому формальное звание - даже "академик" - еще не исключает весьма спорных (мягко говоря) воззрений по некоторым вопросам. У нас и академик Фоменко есть с его новой хронологией. Разные летописи в разных странах указывают одинаковые периоды между общими для разных народов событиями, но академик утверждает, что эти летописи сфальсифицированы. После битвы высокие представители 2х враждующих государств собирались, видимо, на фуршет и договаривались, как им одинаково фальсифицировать историю. Но у академика Фоменко - масса сторонников. Так же, как у взглядов, подобных высказанных академиком Разумовским.
Впрочем, беседа Разумовского мимолетна и сделано в популярном журнале, к подобным неточностям по-человечески стоит относиться терпимо. Я ни в коем случае не оспариваю право людей ошибаться, иметь свои мнения, но и я высказываю свое. Когда оппоненты высказывают свое мнение в агрессивном стиле (а именно в таком стиле начали мои оппоненты в свое время спор, "размахивая" несерьезным высказыванием академика), то и я не откажусь от колкостей в их адрес. Хотя, конечно, я предпочитаю мирные дискуссии, но только с вежливыми собеседниками.
От возникновения некорректных вопросов никогда не будет гарантированной защиты, никогда не будет универсального способа выявлять некорректность подобных вопросов. Теорема Геделя доказывает, что нет универсального способа подтвердить непротиворечивость, а это значит, что нет универсального способа найти ошибку (противоречие). Ведь если бы универсальный метод поиска ошибки имелся, и он всегда завершал свою работу через конечное время, то завершение с результатом "нет ошибок" доказывало бы непротиворечивость. Однако, как показал Гедель, такой алгоритм невозможен. Мы можем сколь угодно долго искать ошибки, но, сколько бы времени мы их не обнаруживали, все равно остается возможность наткнуться на них позже.
Если же путем каких-то нелогических рассуждений система доказала свою "непротиворечивость", то мы имеем дело либо с противоречием, либо с профанированной "непротиворечивостью", которую можно доказать и логическими методами для некоторых "бедных" теорий.