3. Теперь ответим на третий вопрос, поставленный в конце главы 2.2 "Теорема Геделя - доказательство" (раздел IV "Теорема Геделя - "техническая" часть"):
"Разве не сложные искусственные логические конструкции повинны в противоречиях? Какое отношение имеют проблемы, возникающие в очень специфических логических построениях, ко всем остальным теоремам? Пусть даже какое-то отдельное утверждение в данной теории приводит к противоречию (утверждение Геделя, например) - но разве это означает, что ошибки есть и в остальных теоремах данной теории, включая практически важные?"
Конечно, с практической точки зрения отдельная ошибка может быть допущена человеком по невнимательности, усталости, в отношении какого-то узкого вопроса и может не иметь никакого значения для множества других важных вопросов. Но мы сейчас разбираем вопрос о непротиворечивости. Если бы непротиворечивость (не профанированная! - см. раздел I "Профанация понятий и доказательств" этой главы) была бы доказана и вела к противоречию, то можно ли пренебречь противоречием? Можно ли считать, что противоречие незначительное и не отменяет доказательство? Мы же не собираемся выводить из противоречия всё, как это "представляют" себе логики-математики.
Если считать, что противоречие, возникающее при доказательстве непротиворечивости, "незначительно", то в таком случае незначителен и вопрос о непротиворечивости. Зачем его вообще тогда было рассматривать?
В разделе V "Что означает противоречие" главы 2.2 "Теорема Геделя - доказательство" отмечалось, что:
"Поскольку законы логики никогда не нарушаются, то из истинных утверждений выводятся истинные утверждения. Раз в конце стоит ложное утверждение, значит, какая-то ошибка/ошибки имеется в основе теории - в совокупности ее аксиом"
То есть, такое противоречие, которое неизбежно возникает при аккуратном доказательстве теоремы, означает, что при заданных аксиомах данная теорема будет верна лишь в той части мира, которой вообще нет.
Бывают достаточно примитивные теории, которые с очевидностью непротиворечивы. Бывает и такая ситуация, когда у нас есть сложная теория, которую мы используем для решения примитивной задачи. Тогда действительно наше решение может быть очевидно непротиворечивым, а доказать эту непротиворечивость внутри теории невозможно из-за излишней (для нашей задачи) сложности используемой нами теории. Тогда мы можем добиться очевидной непротиворечивости, воспользовавшись менее сложной теорией. Но не все задачи решаются простыми методами. И на любой метод есть неразрешимый вопрос. Об этом уже было сказано в разделе III "Аннушка и Берлиоз" главы 2.2 "Теорема Геделя - доказательство".
Если же для решения сложных вопросов необходима достаточно сложная теория, то ее непротиворечивость в рамках самой теории доказать нельзя. Если же доказательство есть, значит, есть противоречие, за счет которого это доказательство и стало возможным. Если мы удалим это противоречие, то доказательство непротиворечивости в рамках теории станет либо невозможно, либо возможно за счет другого - не устраненного еще - противоречия. При этом мы не всегда можем "упрощать" теорию до очевидно непротиворечивого уровня, потому что в какой-то момент она станет столь примитивной, что будет непригодна для решения необходимых нам сложных задач. И тогда получится, что мы доказали непротиворечивость не нужной нам теории, а какой-то куцей "карикатуры" на нужную нам теорию.
Если же мы не упростили теорию до очевидно непротиворечивого уровня, то мы либо имеем в теории противоречие (если есть доказательство непротиворечивости теории внутри теории), либо не имеем доказательства непротиворечивости теории в рамках теории.
Во втором случае - если мы не имеем (в данный момент) доказательства непротиворечивости теории в рамках теории - возможны 2 противоположных варианта:
i) В теории все равно могут оказаться противоречия, и мы можем наткнуться на них в самый неподходящий момент.
ii) Теория может быть непротиворечивой. Более того, чтобы достаточно выразительная теория была непротиворечива, необходимо, чтобы доказательство непротиворечивости этой теории в рамках самой этой теории не было (еще) найдено. Может, "снаружи" теории даже удастся доказать, что доказать непротиворечивость данной теории в рамках самой теории невозможно. В последнем случае мы имеем "внешнее" доказательство непротиворечивости данной теории.
В практическом же плане даже выразительная теория с доказанной внутри теории непротиворечивостью может быть вполне пригодна для решения многих задач. Хоть в силу теоремы Геделя у такой теории есть противоречие, но это противоречие (или противоречия) может по случайным причинам находится в тех аксиомах, которые для решения практических задач не используются.
Теперь понятен ответ на заданный в начале этого раздела вопрос:
"Пусть даже какое-то отдельное утверждение в данной теории приводит к противоречию (утверждение Геделя, например) - но разве это означает, что ошибки есть и в остальных теоремах данной теории, включая практически важные?"
Ответ: ошибок в остальных практически важных теоремах может и не оказаться. Но это уже будет игра случая. В том-то и дело, что доказательство непротиворечивости выразительной теории в рамках самой этой теории не только не дает гарантий непротиворечивости, но свидетельствует о высокой степени риска при практическом использовании данной теории.
Насколько высок этот риск? Обратим внимание на то, что сейчас мы обсуждаем поступки, совершаемые в результате использования знаний. Именно для таких поступков требуются теории. Есть и другие источники поступков, о чем было сказано в разделе I "Живое руководствуется не только знанием" главы 2.1 "Что значит "знать"?". Там же сказано, почему знание должно адекватно отражать реальность, чтобы риск ошибок не был запредельно высоким. Поэтому с практической точки зрения ты обязательно ошибешься (возможно, в чем-то жизненно важном), если будешь уповать на то, что не обязательно "ошибки есть и в остальных теоремах данной теории"
Более того. Поставленный в начале раздела вопрос подразумевает, в какой-то степени, не только снисходительность к ошибкам, но даже - в некоторых случаях - их желательность. Этот вопрос предлагает примерно такое решение: "Доказательство непротиворечивости может быть противоречивым и пусть. Зато мы удовлетворим свою потребность в таком доказательстве, даже ценой пренебрежения логикой. Мы же хотим поставить свое желание выше разума".
Я не утверждаю, что разум априори надо ставить выше желания, а жизнь выше смерти. Человек может, например, прыгнуть в пропасть без парашюта, если таков его выбор. Я утверждаю лишь, что совершение теоретических ошибок ради ложных, но симпатичных "умозаключений" сильно повышает риск ошибок практических, риск непредвиденных событий. Дефект внутри системы чреват нарушением работы системы, о чем было сказано, например, в разделе II "Чрезмерная спешка - путь деградации" главы 1 "Пределы развития и ниточки жизни (НЖ)":
"В редчайших случаях дефект внутри системы может оказаться полезным, даже некоторые (очень немногие) решения в науке были сделаны в результате ошибок. Обычно же решения были найдены в результате анализа опыта, экспериментов, наблюдения случайностей (не ошибок, а каких-то "посторонних" эффектов) и т.п. специальной научной деятельности.
Научная деятельность дала в тысячи раз больше положительных результатов, чем их было получено в результате ошибок. Более того, для научной деятельности нужны условия современной цивилизации с эффективно работающими системами, а ошибки разрушают эту среду.
На одну "удачную" ошибку приходится миллиард (условно) неудачных, каждая из них разрушает в какой-то степени цивилизованную среду, или тормозит ее развитие, а тем самым препятствует научной деятельности. Поэтому каждая "удачная" ошибка может произойти лишь ценой значительного ухудшения цивилизованной среды в результате тьмы вредных ошибок, в результате множества не найденных решений в ходе научного исследования".
Впрочем, чрезмерное выискивание ошибок тоже может так подорвать силы, что не увидишь очевидного ляпа. Но совершать ошибки ради их симпатичности - рискованное занятие. Впрочем, у каждого свои вкусы.
Мои вкусы сильно расходятся с той частью общества, которая сознательно разрушает коллективный разум, которая ненавидит условия для мышления и само мышление. Люди с такими вкусами (преступными - на мой взгляд - вкусами, когда они реализуются практически) пришли к власти во 2ой половине 80х - начале 90х годов 20 века в России и все еще сохраняют значительное влияние. Вот такие типы разрушают мышление даже не ради симпатичных (для них) заблуждений, но из ненависти к самому мышлению. Об этом было уже сказано, например, в разделе III "Насаждение спешки" главы 1 "Пределы развития и ниточки жизни (НЖ)":
"По сути, "демшиза" просто не имеет качественных знаний, поэтому сложность ее пугает. Отсюда - стремление "опровергать" и просто разрушать. Возьмем, например, странные выходки Ельцина, когда он по выходным внезапно выступал с очередным "зубодробительным" указом. Полнейшее пренебрежение к предсказуемости, к удобству и планам других людей, вынужденных ориентироваться на власть в своих "многоходовых" расчетах. Все это с легкостью пускалось "коту под хвост". Это опять же - ненависть к имеющейся сложности, нежелание с ней считаться, стремление переломить все к чертовой матери о колено для собственного животного удобства"