Текущий раздел можно пропустить, если проблемы формальной логики и теоремы Гёделя не представляют для вас интереса. Подобные замечания делаются, начиная с раздела VI "Понятие "доказательство" - в быту и математике" главы 2.1 "Что значит "знать"?" в начале соответствующих разделов и глав. Если вы пропускаете текущий раздел, то следующий без данного замечания раздел - VI "Мировоззрение - больше, чем человеческое" текущей главы.
Вернемся к примеру из раздела III "Связь логики и жизни, не оптимальная в принципе" текущей главы - к геометрии Евклида. Человеку настолько свойственно опираться на своё непосредственное восприятие, что ему зачастую кажется, что теория (геометрия Евклида, например) автоматически содержит все аксиомы, соответствующие его представлениям (сформированным на базе его непосредственного восприятия геометрических фигур, например).
Человек представляет себе, например, ровную твердую поверхность, ровные линии на этой поверхности и уверен, что то же самое "представляет" себе теория. Вот и возникали споры о доказуемости аксиомы параллельных Евклида из всех остальных его аксиом. Ведь если остальные аксиомы адекватны представлениям о ровной поверхности и ровных линиях, то довольно очевидно, что через одну точку проходит одна прямая, параллельная данной.
Увы, мнение о равенстве между человеческими представлениями о геометрии и аксиомами Евклида - за вычетом аксиомы параллельных - оказалось ошибочным. Лобачевский построил свою геометрию, в которой аксиома параллельных была другой, и через точку проходило бесконечно много прямых, параллельных данной. Более того, была построена модель для этой геометрии. Вместо ровной поверхности в этой модели выступает определенная кривая поверхность - она является плоскостью в геометрии Лобачевского, а вместо прямых - определенные "закрученные" кривые и т.д. И все построенные таким образом геометрические фигуры полностью соответствовали всем аксиомам Евклида без аксиомы параллельных. Причем построенная модель совершенно наглядна, ее можно вылепить из пластилина, например, и подкрепить теорию Лобачевского непосредственным восприятием.
Разумеется, аксиомы Евклида - без аксиомы параллельных - являются истинными и для тех геометрических фигур, которые нарисованы на ровной твердой поверхности. Просто оказалось, что аксиомы теорий не так избирательны, как наши представления. И это понятно - мы создаем теорию для какого-то "куска" реальности и эта созданная нами теория отражает в своих немногих аксиомах часть отношений между свойствами данного "куска" реальности. И такие же отношения между свойствами могут быть (и есть, как доказали, например, Лёвенгейм и Сколем) и у других "кусков" реальности. Теория пользуется лишь своими аксиомами, а мы опираемся на своё непосредственное восприятие и обращаемся, фактически, к такой необъятной "теории", как весь мир.
Поэтому обычно мы делаем свои открытия в рамках своих представлений, построенных на базе непосредственного восприятия. И не всегда нашим эвристическим рассуждениям удается придать вид доказательства в имеющейся теории. Бывает, что в имеющейся теории просто еще нет аксиом, которые соответствуют каким-то нашим представлениям, которые мы использовали в своих эвристических рассуждениях.
Как и с помощью какой теории определить, есть подходящие аксиомы или их нет? Теория Геделя дает на этот вопрос негативный ответ: у нас в общем случае нет никаких гарантий, что удастся решить данный вопрос. Ведь в рамках любой непротиворечивой теории, любой проверки, нельзя доказать, что хоть что-нибудь не доказывается. Ты можешь вечно искать доказательство и не сможешь узнать - то ли его нет, то ли оно будет найдено позже.
Подсказать ответ нам может "внешний" мир, но это уже в решающей степени зависит не от нас, а от того, насколько "хороши" законы этого мира. И у нас, вообще говоря, нет способа так улучшить этот мир, чтобы он нам лучше "подсказывал". Впрочем, можно утверждать, что в отношении "подсказок" мы не улучшаем, а ухудшаем мир. Мы переходим к более и более сложным вопросам, мы создаем всё более и более сложную искусственную среду, управление которой требует решения все более сложных задач. Чем это с неизбежностью кончится - было сказано в самом первом разделе текущей книги. Но таков наш путь.
Хоть теория отражает лишь некоторые отношения между свойствами "куска" реальности, зато логический аппарат позволяет выявлять нюансы в этих отношениях, замечать то, что мы при своем непосредственном восприятии пропускаем, автоматически перескакивая к привычному для нас шагу, не отдавая себе отчета в его неоднозначности. Разберем, например то, как мы пониманием утверждение G из теоремы Гёделя. Напомню, что утверждение G несет следующий смысл:
"Для утверждения <функция, возвращающая текст данного утверждения> не существует текста доказательства в теории с аксиомами <перечень аксиом>".
Как мы уже видели, в достаточно выразительной непротиворечивой теории T, состоящей из аксиом <перечень аксиом>, утверждение G ни само не доказывается, ни его отрицание не доказывается.
То, что утверждение G не доказывается в теории T - понятно. Ведь если бы оно оказалось доказанным в теории T, то возникло противоречие. И естественно, что можно построить непротиворечивую теорию T2, которая состоит из тех же аксиом, что теория T, плюс утверждение G. В теории T2 утверждение G будет доказано в 0 ходов - как аксиома. Разумеется, никаких противоречий не возникнет, потому что G будет доказано в T2, а вовсе не в T с аксиомами <перечень аксиом T>. В теории T утверждение G как было недоказуемо, так и осталось и эта истина, этот факт выражен в теории T2. Утверждение G выражает собственную недоказуемость внутри T и эта T-недоказуемость утверждения G (эквивалентная самому G) доказана внутри T2.
Но интересен другой факт - ведь можно построить теорию T3, которая состоит из тех же аксиом, что теория T, плюс утверждение ~G (отрицание G). И теория T3 тоже будет непротиворечивой. Отрицание G эквивалентно доказуемости G в теории с аксиомами <перечень аксиом T>. Но это, вроде бы, странно - ведь мы-то знаем, что на самом деле утверждение G в теории T с аксиомами <перечень аксиом T> недоказуемо. Ведь реальность непротиворечива (до сих пор, во всяком случае, была) и поэтому на самом деле реализуется только один факт из двух противоположных: либо утверждение G доказывается в теории T, либо утверждение G не доказывается в теории T. И поскольку утверждение G в теории T на самом деле не доказывается, то тогда с какой стати можно считать (в рамках теории T3) что утверждение G в теории T доказывается?
Ответ на поставленный вопрос очень простой и совсем не очевидный: а кто нам сказал, что в теории T есть только аксиомы <перечень аксиом T>? Ведь в чем состоит квинтэссенция теоремы Гёделя? (Как говорил один мой учитель математики: "квинтэссенция - значит апофеоз"). Квинтэссенция теоремы Гёделя состоит в том, что теория не может доказать своих границ. Теория опирается на то, что в ней есть, и теория не может опереться на то, чего в ней нет.
Вопрос о границах - это вопрос о том, какие утверждения являются аксиомами данной теории, а какие не являются. И ответ на вопрос о границах всегда внешний. Поэтому теория T3 соответствует тому случаю, когда теория T является частью какой-то другой теории - скажем, частью теории TT. И в этой теории TT отрицание утверждения G вполне может быть доказано.
Казалось бы, формулировка утверждения G подразумевает, что вопрос о доказуемости G рассматривается для такой теории, в которой есть только аксиомы <перечень аксиом T>. Но это мы так понимаем утверждение G в рамках своих обычных представлений, своего обычного понимания фразы "не существует текста доказательства" и т.п. Но последовательность символов на бумаге, которая изображает утверждение G, не включает в себя наши мозги и наши представления. Так же представление о плоскости - как о твердой ровной поверхности - совсем не содержится в аксиомах Евклида, уменьшенных на аксиому параллельных.
Это мы подразумеваем, что "доказуемо" означает применение трех (в эквивалентной формулировке логики - двух) правил вывода, но формула G с таким же успехом может использоваться и в случае дополнительного правила вывода, когда доказуемость G возникает "из воздуха". Просто постулировали такое правило и всё. Такую возможность и отражает теория T3. И эта возможность соответствует принципу расширяемости теории, принципу условности ее границ. Поэтому противоречий в теории T3 не возникает, хотя с точки зрения теории T3 теория TT окажется противоречивой.
Противоречивой она окажется потому, что в ней доказано всё, что доказано в T, то есть, и утверждение G <=> ~P("G") из которого по принципу контрапозиции следует (~G <=> P("G")). Из последней эквивалентности получаем (~G => P("G")), а поскольку ~G доказано в T3, то по правилу вывода MP из (~G) и (~G => P("G")) получаем P("G"). Далее:
У нас в T доказано P("G") => P("0=1"). Отсюда и из (P("G")) по MP получаем P("0=1"), а это и есть противоречие. Но не противоречие в теории T3, а противоречие в теории T с точки зрения теории T3. Не надо забывать, что P() обозначает у нас доказуемость в теории T. Правильнее было бы писать PT(), но P() короче и мы все равно помним, для какого перечня аксиом служит данное обозначение.
Аксиомы <перечень аксиом T> могут быть, в принципе, частью более широкого противоречивого набора аксиом и такая возможность сама по себе соответствует реальности и не является противоречивой. Вот теория T3 и может отразить то, что в мире есть противоречивые теории, хотя сама T3 от этого противоречивой не станет.
Как видим, смысл утверждения G зависит от контекста. А мы зачастую вкладываем в математические формулы и утверждения гораздо больше определенности, гораздо больше избирательности, чем придают этим формулам аксиомы теории. Мы используем формулы для наших практических нужд, поэтому мы скорее уж дополним теорию дополнительными аксиомами, чем усечем свое понимание до уровня аксиом уже сформулированных. Поэтому то, что мы невольно придаем формулам "избыточный смысл" - в целом оправдано с практической точки зрения.
Если какая-то формула включена в "нестандартную" теорию, то тем самым она приобретает непривычный для нас смысл, как, например, утверждение G в теории T3. Но подобный эффект характерен и для обычного языка. Например, фраза "Шут его знает" имеет смысл "Неизвестно" и этот смысл является исключением из обычных правил.
По обычным правилам (скажем - в прямом смысле) фраза "Шут его знает" означает, что нам следует обратиться за разъяснениями к шуту. Тут имеется даже конфликт между прямым и переносным смыслом. Ведь если шут действительно есть и знает какой-то ответ, а ты хочешь посоветовать собеседнику обратиться к шуту за разъяснениями, то ты не можешь выразиться словами: "Шут его знает". Ведь сказав эту фразу, ты будешь неправильно понят, и собеседник решит, что ты сообщаешь ему, что ответ неизвестен. Поэтому приходится говорить что-то более длинное, вроде: "Шут его знает - в прямом смысле". Но и в логике привычное для нас понимание формулы G можно выразить даже в T3 другим "языком".
Конфликта между прямым и переносным смыслом не возникает, если прямой смысл не соответствует ничему в реальности. Например, фраза: "Когда рак на горе свистнет" имеет смысл "Никогда". И конфликта с прямым смыслом не возникает, потому что, на самом деле, раки на горе не свистят. Впрочем, когда-нибудь ненавистники русских пословиц и поговорок могут вывести соответствующих генетически модифицированных раков, но пока ещё, кажется, не вывели.