Жизнь куда шире, чем любая доступная нашему пониманию теорию. Многие вещи в жизни формируются в результате долгого опыта, многочисленных ошибок, усовершенствований и новых ошибок. В значительной степени это утверждение применимо и к логике. Логики пришли к своим нынешним методам во многом от противного - потому что другие методы приводили к ошибкам. Но практика - это еще не осмысление того, как формальная логика соотносится с жизнью. Ради осмысления этого отношения в значительной степени написаны предыдущие главы (кроме главы 2.3 "Свобода воли и законы природы") этой части. Кроме того, с начала 20 века, пережив жесточайший кризис, логика так поспешно ушла вперед, что образовался неоправданно большой разрыв между наукой и жизнью. "Простой" человек имеет все основания спросить: "Какое отношение вся эта "высокая наука" имеет к моей жизни? Какая от этой науки практическая польза обычным людям?"
Оговорюсь, что "обычный человек" в наше время в моем представлении - это умный человек, который развивается, который использует свой ум и заботиться о нем. Современный "обычный человек" не культивирует в себе невежество, не говорит с гордостью о своих примитивных запросах, но развивает свой ум, и его материальные потребности носят подчиненный характер, создавая условия для удовлетворения его духовных потребностей.
Нельзя сказать, что логики не чувствовали потребности осознать отношения между логикой и жизнью, но профессиональные интересы отвлекали их силы. Занятные наблюдения на стыке логики и жизни сделаны, например, в детских книгах профессора логики и священника Чарльза Доджсона (литературный псевдоним - Льюис Кэрролл). Его "Алиса в стране чудес", "Алиса в Зазеркалье", "Охота на Снарка", "Логическая игра", письма к его юным корреспонденткам содержат множество маленьких парадоксов.
Сравнение человека и теории имело место в разделе IV "Мы даем имена, а не "принимаем без доказательства"" главы 2.4 ""Окрестности" теоремы Геделя". Но в том разделе мы сравнили человека и теорию на принципиальном уровне. Теперь опробуем полученное знание на некоторых конкретных примерах. Напомню, что в указанном разделе IV было установлено, что знания человека следует рассматривать не столько как теорию, сколько как часть теории. Человек на пару с окружающим его миром соответствует некоторой теории, но нет правильной теории, которую можно было бы поставить в соответствие отдельному человеку. Человек связан с окружающим его миром непосредственным восприятием.
Непосредственное восприятие открывает перед человеком такие возможности, которых нет в логически замкнутой теории, и в этом отношении непосредственное восприятие оказывается богаче теоретического подхода. Но некоторые факты невозможно непосредственно воспринять, их можно только понять, и в подобных случаях теоретический подход оказывается богаче непосредственного восприятия. Примеры того и другого рода будут разобраны до конца текущей главы.
Но прежде разберем на примере, как взаимодействует между собой непосредственное восприятие и теоретический подход. Можно ли добиться наилучшего взаимодействия между ними, некоторого оптимума? С этим вопросом будем разбираться до конца текущего раздела.
В разделе IV "Мы даем имена, а не "принимаем без доказательства"" главы 2.4 ""Окрестности" теоремы Геделя" уже отмечалось, что:
"... в геометрии Евклида вместо прямых можно использовать хоть пивные кружки, лишь бы эти пивные кружки удовлетворяли аксиомам Евклида. Тогда истинность геометрии не нарушится, и для пивных кружек будут выполнены все теоремы евклидовой геометрии"
Однако человек все же имеет наглядные представления о прямых, точках, окружностях и т.п. Эти представления опираются не на манипулирование символами, но на какие-то факты реального мира. И в силу своей реалистичности данные представления несут в себе больше информации, чем аксиомы той же евклидовой геометрии.
Например, плоскость я представляю себе как твердую ровную поверхность белого цвета, да еще в клеточку. Ясно, что твердость этой поверхности или ее цвет не имеют никакого отношения к евклидовой геометрии, но мне так удобней. Из своих наглядных представлений человек зачастую черпает свои открытия, а логика служит тогда лишь для подтверждения правильности умозаключений - если удается найти доказательство.
Как мы делаем свои открытия, как мы придумываем доказательства - вопрос открытый и он всегда останется открытым. Ведь в силу теоремы Чёрча нет универсального способа проверки, поэтому любой метод проверки (или поиска) является частным. И в этом смысле опираться на наглядные представления ничуть не хуже, чем жонглировать символами.
В молодости я пытался изгнать наглядные представления из своей головы, следуя поверхностному взгляду на математику, как на что-то унифицирующее, однозначное. Но достижения логики 20 века оказались прямо противоположны этому поверхностному взгляду. Все методы поиска и проверки оказались частными, и нет нужды специально себя обеднять, отказываясь от эффективных в частных случаях (а других случаев нет) методов.
Вообще-то, стремление к унификации - характерная черта идеологии Запада, о чем еще будет сказано в разделе IV "Конкурентный рынок - централизация и устранение дублирования" главы 4.3 "Особое место рабства и либерализм в истории".
"Поэтому рабство/либерализм нуждаются для своего появления в одинаковости многих производственных процессов и возникают в тех обществах, которые наиболее склонны к унификации. В исторических условиях, требующих централизации и устранения дублирования такие "унифицирующие" общества получают преимущество. Но такие исторические условия непродолжительны (по историческим меркам) и в остальное время общества, склонные к унификации, легко деградируют. Но когда рабство/либерализм устоялись, то для продолжения своего существования они уже насаждают унификацию там, где она давно не нужна, втаптывая окружающий их мир в одинаковость, потому что соревноваться в разнообразии и глубине они мало способны".
Одно из проявлений таких унифицирующих стандартов - стремление к "максимальной полезности", стремление к наибольшему счастью и другие подобные химеры. По поводу чувств и счастья было сказано в разделе II "Природа чувств" главы 2.3 "Свобода воли и законы природы". Что же касается эффективности понимания, эффективности знания, то здесь не может быть универсальных решений в силу теоремы Чёрча о неразрешимости теорий.
"Механизмы" мышления каких-нибудь инопланетян вполне могут быть совершенно иными, чем наши. И в их условиях их мышление может быть эффективней нашего. В силу тезиса Чёрча их правильные методы вычисления будут давать такие же (с учетом "перевода" с их языка на наш язык) результаты, что и наши правильные методы вычисления для одинаковых задач, но наши методы мышления и построения теорий в одних случаях будут менее эффективны, чем инопланетные, а в других - наоборот.
Да что инопланетяне - языки разных народов настроены для разных условий. В английском языке, например, смысл предложения сильнейшим образом зависит от порядка слов в нем и имеется пропасть различных времен. В русском же только 3 времени, зато есть падежи и множество слов для нюансов - в том числе чувств.
Невозможно перечислить все причины, в силу которых так различно устроены языки в Англии и России. Назову для примера одну причину - неунифицированная жизнь в России подразумевает куда больше вариантов жизни "на местах" (в пространстве).
Неоднородность же русского пространства придает вязкость течению времени. Чтобы изменения, родившиеся в одной части страны, повлияли на другую ее часть, они должны пройти период адаптации, период приспособления к местным условиям. Время оказывается вторичным по отношению к местным условиям, поэтому в первую очередь требуются термины, характеризующие нюансы исходной ситуации, и лишь во вторую очередь необходимы термины, характеризующие течение времени. К тому же, долгая проработка исходной ситуации завершается зачастую куда более стремительными изменениями, чем в странах Запада - но "скачки" случаются не часто.
Кроме того, стремление найти наиболее оптимальное решение не приближает нас к оптимальности в общем случае, а удаляет от неё. Обосную это свое утверждение:
В книге "Вычислимость и логика" Дж. Булоса и Р. Джеффри приведен парадокс "усердного бобра", который имеет прямое отношение к вопросу об оптимальности. В этом парадоксе задача состоит в том, чтобы найти самый продуктивный алгоритм среди всех алгоритмов, записанных не более чем N символами. Продуктивность алгоритма - по определению - равна 0 у тех алгоритмов, которые не завершают свою работу за конечное время, и равна результату работы алгоритма, если он завершает свою работу. А "усердным бобром" называется алгоритм, который для любого наперед заданного N вычисляет за конечное время ту продуктивность, которую покажет самый продуктивный алгоритм среди всех алгоритмов, записанный не более чем N символами. Существует ли "усердный бобер"?
Оказывается, что "усердного бобра" не существует. Идея доказательства в том, что из "усердного бобра" (если бы он был) строятся некоторые "бобровые" алгоритмы (довольно простое построение, но не буду здесь углубляться в нюансы). И эти алгоритмы оказываются такими, что результат усердного бобра для некоторого достаточно большого N окажется меньше, чем продуктивность "бобрового" алгоритма, записанного не более чем N символами. Но результат усердного бобра для N должен быть не меньше, чем результат любого алгоритма, который записан не более чем N символами и завершается за конечное время. Полученное противоречие доказывает, что "усердного бобра" не существует.
Поэтому, если мы стремимся записать число в наиболее сжатом виде, то в силу парадокса усердного бобра у нас нет в общем случае алгоритма, который нашел бы для нас такой наиболее сжатый вид. Нет, и не может быть никаких гарантий и никаких временных оценок, которые могли бы очертить пределы необходимых усилий для подобного поиска в общем случае. Поэтому такой поиск оказывается не оптимальным.
Хотя, если бы мы собирались вечно оперировать только алгоритмами, длина записи которых не превышает некоторого неизменного N, то мы могли бы построить "усердного бобра" для этого частного случая. Но если сложность постепенно нарастает, то при переходе от одного N к другому нам придется решать все новые и новые задачи. И время, истраченное на поиск оптимального решения для нового N, не окупится выгодой от использования этого решения до момента очередного усложнения (перехода к очередному N). Конечно, чем выше сложность уровня, тем больше времени проходит до перехода на следующий уровень. Но чем выше сложность уровня, тем больше трудностей для поиска оптимума.
Полезно, кстати, вспомнить и о насущных потребностях. Сверх того, чтобы искать оптимум, мы вынуждены еще зарабатывать себе на жизнь. Зарабатывать на жизнь можно только при помощи уже найденных алгоритмов, используя их. Я не говорю, что все люди должны заниматься в какой-то степени реализацией и использованием готовых алгоритмов, но какая-то часть общество должна это делать, чтобы обеспечивать общество. Поэтому всеобщее увлечение поисками самого лучшего алгоритма может забрать столько сил и времени, что останется слишком мало возможностей заработать на жизнь. А если ты еще не академик, не свободный художник, не на гособеспечении, тогда и конкретно ты не можешь постоянно заниматься поисками лучших алгоритмов. Потому что в таком случае ты не только оптимального решения не найдешь, но еще и "долго жить" прикажешь.
Еще Аристотель сделал аналогичное наблюдение, хоть и не в отношении алгоритмов. Аристотель отмечал, что в поисках исходных утверждений (аксиом, например) мы всегда вынуждены остановиться на каких-то утверждениях и не продолжать свой поиск дальше. Ведь иначе поиск исходных утверждений никогда не закончится, и мы не сможем перейти к их практическому использованию.
Из всего сказанного следует вывод, что поиск оптимальности, вообще говоря, не оптимален.
Но не является ли сделанный вывод противоречивым? Разве сам этот вывод не является некоторым оптимумом, разве он не указывает такой образ действий, который лучше, чем поиск самого лучшего решения?
Сделанный вывод не является противоречивым, потому что этот вывод уже сделан (решение найдено). Данный вывод сделан не в отношении найденных оптимумов, а про поиск не найденных еще оптимальностей, к тому же о поиске в общем случае. Это значит, что в частных случаях оптимум может быть гарантированно найден, когда известен метод такого поиска.
Например, известен метод поиска максимумов для функций, построенных из элементарных функций. Максимум - это оптимум в отношении наибольшей величины данной функции. Но требование всегда находить оптимальное решение (в общем случае) - абсурдно.
Оптимальные решения иногда обнаруживаются, но обнаруживаются во многом случайно. Человек ищет, например, более удачное решение, чем у него есть и натыкается на самое лучшее (оптимальное) решение. Но если у человека не было четких инструкций, как найти лучшее (тем более - самое лучшее) решение данной задачи, то нет оснований обвинять его в том, что он не нашел такого решения.
Тем более нельзя требовать от человека систематически находить оптимальное решение, если предварительно ему не предоставлены готовые, непротиворечивые, четкие и выполнимые инструкции, гарантирующие успешный поиск таких решений. В остальных случаях решение, которое лучше решения данного человека, есть практически всегда и всегда есть возможность оскорбить человека, указав, что он хуже, чем "должен" быть. Но это просто садизм, это способ разрушать человека и - преступление.